Urodziła się w 1954 r. w Braniewie. Z wykształcenia jest nauczycielką.
W 1978 r. ukończyła filologię polską na Uniwersytecie Gdańskim, jest też m.in. absolwentką studiów podyplomowych z organizacji i zarządzania oświatą. Uczyła języka polskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych, w 1992 roku rozpoczęła pracę w Kuratorium Oświaty w Elblągu, gdzie była wizytatorem, dyrektorem wydziału, a w latach 1999-2010 – dyrektorem elbląskiej delegatury Warmińsko-Mazurskiego Kuratorium Oświaty.
W wyborach samorządowych w 2010 roku zdobyła mandat radnej, po czym została powołana na stanowisko wiceprezydenta Elbląga. Pełniła ten urząd do 14 kwietnia 2013 roku, kiedy mieszkańcy odwołali Radę Miejską i prezydenta Grzegorza Nowaczyka w drodze referendum.
Jeszcze w 2013 roku została zatrudniona w departamencie kultury Urzędu Marszałkowskiego, a 12 marca 2014 r. powołana na stanowisko wicewojewody warmińsko-mazurskiego. Pełniła tę funkcję do 10 grudnia 2015 roku, po czym objęła obowiązki dyrektora biura regionalnego Urzędu Marszałkowskiego w Olsztynie.
W latach 2018-2023 była radną Sejmiku Województwa Warmińsko-Mazurskiego, pełniąc też funkcję wiceprzewodniczącej. Po zakończeniu kadencji wróciła na stanowisko dyrektora biura regionalnego (na czas sprawowania mandatu była na urlopie bezpłatnym), które pełni do dzisiaj.
W 2024 roku ponownie została radną Rady Miejskiej w Elblągu. 6 maja jednogłośnie radni powierzyli Grażynie Kluge funkcję przewodniczącej Rady Miejskiej.